Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $I$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$; mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và song song với $B{D}^{\prime },B^{\prime }C$.
a) Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(P)$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $BC$. Tính $\frac{BK}{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(1;1;1),D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $I$ là tâm mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $I(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1)$. Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-1;1;1)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;1;-1)$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\times \overrightarrow{B^{\prime }C}=(-2;-1;-1)$, nên $(P)$: $2x+y+z=\frac{5}{2}$.

a) Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $x=1$. Giao tuyến $d$: $x=1,y+z=\frac{1}{2}$, tức đường thẳng qua điểm $M$ là trung điểm $B{B}^{\prime }$ (tọa độ $(1;0;\frac{1}{2})$) và song song với $B^{\prime }C$ (vì có cùng vectơ chỉ phương $(0;1;-1)$). Về mặt hình học: vì $(P)\parallel B^{\prime }C$ và $B^{\prime }C\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $d\parallel B^{\prime }C$; mặt khác $(P)$ cắt $B{B}^{\prime }$ tại trung điểm $M$ của $B{B}^{\prime }$ (do $M\in (P)$ vì $2\cdot 1+0+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$). Vậy $d$ là đường thẳng qua trung điểm $B{B}^{\prime }$ và song song với $B^{\prime }C$.

b) $d$ cắt $BC$ (là $z=0$, $x=1$) tại điểm có $y=\frac{1}{2}$, tức $K$ là trung điểm của $BC$. Thật vậy, trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, đường thẳng qua trung điểm $M$ của $B{B}^{\prime }$ và song song với $B^{\prime }C$ (đường chéo của hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$) đi qua trung điểm của $BC$ (tính chất đường trung bình). Do đó $\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}$.