Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song $BC$, $AB=BC=CD=7\sqrt{6}$, $AD=14\sqrt{6}$. Góc giữa mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^0$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $D(14\sqrt{6};0;0)$. Vì hình thang cân với $AD=14\sqrt{6}$, $BC=7\sqrt{6}$, cạnh bên $AB=CD=7\sqrt{6}$ nên chiều cao hình thang $h_t=\sqrt{(7\sqrt{6}{)}^2-{\left(\frac{7\sqrt{6}}{2}\right)}^2}=\frac{21\sqrt{2}}{2}$. Do đó $B\left(\frac{7\sqrt{6}}{2};\frac{21\sqrt{2}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{21\sqrt{6}}{2};\frac{21\sqrt{2}}{2};0\right)$.

Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $CD$: diện tích tam giác $ACD$ bằng $\frac{1}{2}\cdot 14\sqrt{6}\cdot \frac{21\sqrt{2}}{2}=\frac{147\sqrt{12}}{2}=147\sqrt{3}$, nên $d(A,CD)=\frac{2\cdot 147\sqrt{3}}{7\sqrt{6}}=21\sqrt{2}$.

Góc giữa $(A^{\prime }CD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }A$ và đường cao từ $A$ của tam giác $ACD$ (cùng vuông góc $CD$), bằng $45^0$, nên $A{A}^{\prime }=21\sqrt{2}\cdot \tan 45^0=21\sqrt{2}$. Vậy $A^{\prime }(0;0;21\sqrt{2})$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$: với $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(-14\sqrt{6};0;21\sqrt{2})$, $\overrightarrow{DC}=\left(-\frac{7\sqrt{6}}{2};\frac{21\sqrt{2}}{2};0\right)$, vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{DC}=(-441;-147\sqrt{3};-294\sqrt{3})$, có độ dài $|\vec{n}|=294\sqrt{6}$.

$\overrightarrow{DB}=\left(-\frac{21\sqrt{6}}{2};\frac{21\sqrt{2}}{2};0\right)$, nên $\vec{n}\cdot \overrightarrow{DB}=\frac{441\cdot 21\sqrt{6}}{2}-\frac{147\cdot 21\sqrt{6}}{2}=3087\sqrt{6}$.

Khoảng cách cần tìm: $d(B,(A^{\prime }CD))=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{DB}|}{|\vec{n}|}=\frac{3087\sqrt{6}}{294\sqrt{6}}=10,5$.

Kiểm tra lại bằng cách khác: khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng qua đường thẳng $CD$ tạo với đáy góc $45^0$ bằng $d(B,CD)\cdot \sin 45^0$. Diện tích tam giác $BCD$: $BC=CD=7\sqrt{6}$, $BD=21\sqrt{2}$ (cos $C=-\frac{1}{2}$), diện tích $=\frac{147\sqrt{3}}{2}$, nên $d(B,CD)=\frac{2\cdot \frac{147\sqrt{3}}{2}}{7\sqrt{6}}=\frac{21}{\sqrt{2}}$. Suy ra $d=\frac{21}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{21}{2}=10,5$. Khớp với đáp số nguồn.