Một số có 12 chữ số được gọi là số thứ vị nếu các chữ số của nó bé hơn 9 và khi tăng mỗi chữ số lên tối đa một đơn vị (mỗi chữ số có thể không tăng hoặc tăng thêm một đơn vị) thì ta được một số mới khác số ban đầu và chia hết cho số ban đầu. Hỏi có bao nhiêu số thứ vị?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N=\overline{a_{11}{a}_{10}\dots a_0}$ là số thứ vị ($a_{11}\ne 0$, mọi chữ số $<9$). Khi tăng chữ số ở hàng $10^i$ thêm 1 đơn vị, số mới tăng thêm $10^i$. Gọi $S$ là tổng các $10^i$ tương ứng với các chữ số được tăng; khi đó số mới là $M=N+S$, với $M\ne N$ nên $S>0$, và $N\mid M$ nên $N\mid S$.
Mặt khác $S\le 1+10+\cdots +10^{11}=\frac{10^{12}-1}{9}=111111111111<2\cdot 10^{11}\le 2N$, nên $0<S<2N$, suy ra $S=N$.
Vì $S$ là tổng các lũy thừa $10^i$ phân biệt nên biểu diễn thập phân của $S$ chỉ gồm chữ số 0 và 1. Do $S=N$, số $N$ phải có tất cả các chữ số bằng 0 hoặc 1, chữ số đầu bằng 1. Khi đó tăng đúng các chữ số bằng 1, ta được $M=2N$ chia hết cho $N$ và khác $N$, thỏa mãn.
Vậy mỗi số thứ vị tương ứng với một cách chọn 11 chữ số còn lại (mỗi chữ số 0 hoặc 1), cho $2^{11}=2048$ số. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 2048.