Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=\sqrt{2}a$. Góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì lăng trụ tam giác đều nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\perp (ABC)$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2\cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$. Tính: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}{|}^2=-\frac{a^2}{2}+2a^2=\frac{3a^2}{2}$. Mặt khác $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{B{C}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$. Vậy $\cos \alpha =\frac{3a^2/2}{3a^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.