Cho hình vuông $MNPQ$ cạnh $a$. Cho $I$, $J$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $PQ$, $MN$ và $NP$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ $M(0;0),N(a;0),P(a;a),Q(0;a)$; khi đó $I(a/2;a),J(a/2;0),K(a;a/2)$. a) $\overrightarrow{PM}=(-a;-a)$, $\overrightarrow{QI}=(a/2;0)$, $\cos (\overrightarrow{PM},\overrightarrow{QI})=\frac{-a^2/2}{a\sqrt{2}\cdot a/2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $135^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai. b) $2\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QN}=2(0;a)+(a;-a)=(a;a)$, độ dài $a\sqrt{2}$ → Đúng. c) $\overrightarrow{QI}\cdot \overrightarrow{NJ}=(a/2;0)\cdot (-a/2;0)=-\frac{a^2}{4}$ → Đúng. d) $\overrightarrow{MK}=(a;a/2)$, $\overrightarrow{NI}=(-a/2;a)$, tích vô hướng $-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0$ nên $MK\perp NI$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\overrightarrow{PM},\overrightarrow{QI})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $135^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QN}=(a;a)$ nên độ dài bằng $a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{QI}\cdot \overrightarrow{NJ}=(a/2)(-a/2)+0=-\frac{a^2}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{NI}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0$ nên $MK\perp NI$.