Cho hypebol $(H)$. Tìm những điểm $M\in (H)$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với:
a) $\frac{x^2}{4}-y^2=1$
b) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
c) $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
d) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

(AI giải đề cho tôi)
Với $(H):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, tiêu điểm $F_1(-c;0),F_2(c;0)$, $c^2=a^2+b^2$. Điều kiện $\widehat{F_{1}M{F}_2}=90^{\circ }$: $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0\iff (x+c)(x-c)+y^2=0\iff x^2+y^2=c^2$. Kết hợp phương trình hypebol: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{c^2-x^2}{b^2}=1\iff x^2\cdot \frac{c^2}{a^2{b}^2}=\frac{a^2+2b^2}{b^2}\iff x^2=\frac{a^2(a^2+2b^2)}{c^2}$, rồi $y^2=c^2-x^2$.

a) $a^2=4,b^2=1,c^2=5$: $x^2=\frac{4\cdot 6}{5}=\frac{24}{5}$, $y^2=\frac{1}{5}$. Vậy $M\left(\pm \frac{2\sqrt{30}}{5};\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ (dấu $y$ tùy ý, độc lập với dấu $x$).

b) $a^2=9,b^2=4,c^2=13$: $x^2=\frac{9\cdot 17}{13}=\frac{153}{13}$, $y^2=\frac{16}{13}$. Vậy $M\left(\pm \frac{3\sqrt{221}}{13};\pm \frac{4\sqrt{13}}{13}\right)$.

c) $a^2=4,b^2=12,c^2=16$: $x^2=\frac{4\cdot 28}{16}=7$, $y^2=9$. Vậy $M(\pm \sqrt{7};\pm 3)$.

d) $a^2=9,b^2=16,c^2=25$: $x^2=\frac{9\cdot 41}{25}=\frac{369}{25}$, $y^2=\frac{256}{25}$. Vậy $M\left(\pm \frac{3\sqrt{41}}{5};\pm \frac{16}{5}\right)$.

Kiểm tra: mỗi điểm thỏa $x^2+y^2=c^2$ và phương trình hypebol tương ứng (ví dụ c) $7/4-9/12=7/4-3/4=1$; d) $369/225-256/400=41/25-16/25=1$).