Cho tập $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$, từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2?

Trong một nhóm có 5 người $A,B,C,D,E$.
a) Có bao nhiêu cách xếp năm người này thành hàng ngang sao cho $A$ và $B$ đứng cạnh nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp năm người này thành hàng ngang sao cho $C$ và $D$ không đứng cạnh nhau?

a) Tìm số hạng không chứa $x$ (số hạng tự do) trong khai triển của ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\right)}^n$ nếu biết rằng $C_n^2-C_n^1=44$.
b) Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển của ${\left(1+x^2-x^3\right)}^8$.
c) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\right)}^n$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$.

Xét tính tăng, giảm của các dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi:
a) $u_n=\frac{1}{n}$ b) $u_n=n^2$ c) $u_n=n-n^2$
d) $u_n=(-2{)}^n$ e) $u_n=\frac{2n+1}{3n-2}$ f) $u_n=\frac{4^n-1}{4^n+5}$

Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi:
a) $u_n=\frac{2n+3}{n+2}$ b) $u_n=\frac{1}{n(n+1)}$ c) $u_n=n^2+4$
d) $u_n=\frac{n+1}{3^n}$ e) $u_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+n}$ f) $u_n=(-1{)}^n\cos \frac{\pi }{2n}$

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_0=2;u_1=5$ và $u_{n+1}=5u_n-6u_{n-1}$ với mọi $n\ge 1$. Bằng quy nạp, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta có $u_n=2^n+3^n$.

Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1$ và $u_{n+1}=u_n+(n+1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.
a) Chứng minh rằng $(u_n)$ là một dãy số tăng.
b) Chứng minh rằng $u_n=1+(n-1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.

Trong các dãy số $(u_n)$ dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hàng đầu, công sai và tổng 50 số hạng đầu tiên của nó:
a) $u_n=3n-7$ b) $u_n=\frac{3n+2}{5}$ c) $u_n=n^2$

Một cấp số cộng có 11 số hàng. Tổng các số hàng là 176, hiệu giữa số hàng cuối và số hàng đầu là 30. Tìm cấp số cộng đó.

a) Tìm 3 số hàng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Một tòa nhà hình tháp có 30 tầng và tổng cộng có 1890 phòng, càng lên cao thì số phòng càng giảm, biết rằng cứ 2 tầng liên tiếp thì hơn kém nhau 4 phòng. Quy ước rằng tầng trệt là tầng 1, tiếp theo lên là tầng 2, 3,…. Hỏi tầng số 10 có bao nhiêu phòng?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa: $\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}$.
a) Tìm số hàng đầu $u_1$, công bội $q$ và tính $S_{12}$ của cấp số nhân đó.
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hàng đầu tiên sẽ bằng 3069
c) Số 12288 là số hàng thứ mấy?

Tìm số hàng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) $\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{array}$ b) $\{\begin{array}{l}{u}_1-u_3+u_5=65\\ u_1+u_7=325\end{array}$ c) $\{\begin{array}{l}{u}_3+u_5=90\\ u_2-u_6=240\end{array}$

Cho ba số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là $0,75\%$.
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Lập phương trình chính tắc của $(E)$, biết:
a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4.
b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6.
c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự.
d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua $M\left(\sqrt{15};-1\right)$.

Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 20 và tiêu cự bằng 12.

Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ trong các trường hợp sau:
a) $(E)$ đi qua điểm $M\left(\frac{3}{\sqrt{5}};\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$ và $M$ nhìn hai tiêu điểm $F_1,F_2$ dưới một góc vuông.

Lập phương trình chính tắc của Elip $(E)$ biết:
a) Một đỉnh trên trục lớn là $A(-2;0)$ và một tiêu điểm $A\left(-\sqrt{2};0\right)$.
b) Hai đỉnh trên trục lớn là $M\left(\sqrt{2};\frac{3}{\sqrt{5}}\right),N\left(-1;\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)$.

Lập phương trình chính tắc của $(H)$, biết:
a) Độ dài trục thực bằng 6, trục ảo bằng 4.
b) Độ dài trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10.
c) Tiêu cự bằng $2\sqrt{13}$, một tiệm cận là $y=\frac{2}{3}x$.
d) Độ dài trục thực bằng 48, tâm sai bằng $\frac{13}{12}$.

Lập phương trình chính tắc của $(H)$, biết:
a) Nửa trục thực bằng 2, tiêu cự bằng $2\sqrt{5}$.
b) Tiêu cự bằng $4\sqrt{29}$, một tiệm cận có phương trình $y=-\frac{2}{5}x$.
c) $(H)$ đi qua $M(\sqrt{6};3)$ và góc giữa hai tiệm cận là $60^0$.

Cho hypebol $(H)$. Tìm những điểm $M\in (H)$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với:
a) $\frac{x^2}{4}-y^2=1$
b) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
c) $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
d) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Lập phương trình chính tắc của $(P)$, biết:
a) Tiêu điểm $F(4;0)$
b) Tiêu điểm $F(3;0)$
c) Đi qua điểm $M(1;-4)$
d) Đi qua điểm $M(1;-2)$
e) Đường chuẩn $\Delta$: $x+2=0$
f) Đường chuẩn $\Delta$: $x+\frac{1}{8}=0$

Lập phương trình chính tắc của $(P)$, biết:
a) Tiêu điểm $F$ trùng với tiêu điểm bên phải của elip $(E)$: $5x^2+9y^2=45$.
b) Tiêu điểm $F$ trùng với tiêu điểm bên phải của hypebol $(H)$: $16x^2-9y^2=144$.
c) Tiêu điểm $F$ trùng với tâm của đường tròn $(C)$: $x^2-6x+y^2+5=0$.

Cho parabol $(P)$ có phương trình $y^2=4x$. Tìm tọa độ các điểm $M$ nằm trên parabol $(P)$ và cách tiêu điểm một khoảng bằng 3.

Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8m, rộng 20m.

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.
b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.

Cổng chào của một thành phố dạng hình parabol có chiều cao $h=25m$ và khoảng cách giữa hai chân cổng là $d=120m$. Hãy viết phương trình parabol của cổng chào.

Thang leo gọn sóng cho trẻ em trong công viên có hai khung thép cong hình nửa elip cao $100cm$ và khoảng cách giữa hai chân là $240cm$.

a) Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình chính tắc của elip nói trên.
b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm Hình 11 cách chân khung $20cm$ lên đến khung thép.

Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là $12m$, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là $3m$. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao $2,8m$ thì có chiều rộng không quá $3m$. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao $2,8m$ có thể đi qua hầm được không?

Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là $768800km$ và $767640km$. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Cho đa thức $f(x)=x^3-2x^2+x-1,g(x)=4x^2-x+3,h(x)=-x^3+x^2+8$. Xác định $f(x)+g(x),f(x).g(x),h(x^3)$ và $g\circ h(x)$.

Cho $f(x)=x^3-18x^2+115x-391$. Tìm số nguyên dương $x$ để $f(x)$ là lập phương của một số nguyên dương.

Tìm dư của phép chia:
(1) $x^2+1$ cho $x+1$.
(2) $x^6+x^3+1$ cho $x^2+x+1$.
(3) $x^{12}+x^8+x^4+1$ cho $x^3+x^2+x+1$.
(4) $f\left(x^{100}\right)$ cho $f(x)$ với $f(x)=x^{99}+x^{98}+\cdots +x+1$.

Chứng minh rằng với mọi giá trị của $n$ là số tự nhiên, đa thức $(x+1{)}^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho đa thức $x^2+x+1$.

Chứng minh rằng $(x^m-1,x^n-1)=x^{(m,n)}-1$.

Phân tích ra thừa số:
(1) $P(x)=x^3+4x^2+4x+1$.
(2) $Q(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$.
(3) $H(x)=x^4+1$.
(4) $R(x)=x^8+1$.

Cho $f(x)=2x^5-70x^3+4x^2-x+1$. Tìm thương và dư của phép chia $f(x)$ cho $x-6$ bằng sơ đồ Horner.

Cho $a$ là số nguyên. Chứng minh rằng phương trình $x^4-7x^3+(a+2)x^2-11x+a=0$ không có quá một nghiệm nguyên.

Tìm $a,b$ nguyên sao cho phương trình $x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1=0$ (1) có hai nghiệm trong số các nghiệm có tích bằng -1.

Xác định đa thức bậc hai nhận giá trị bằng:
a) 3; 5; −1 tại $x=1;2;7$ tương ứng.
b) 3; 1; 7 tại $x=-1;0;3$ tương ứng.

Chứng minh rằng nếu đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên tại 3 giá trị nguyên liên tiếp của biến số $x$ thì đa thức nhận giá trị nguyên tại mọi giá trị $x$.