Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_0=2;u_1=5$ và $u_{n+1}=5u_n-6u_{n-1}$ với mọi $n\ge 1$. Bằng quy nạp, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta có $u_n=2^n+3^n$.

(AI giải đề cho tôi)
Bước cơ sở: $u_0=2^0+3^0=1+1=2$ đúng; $u_1=2^1+3^1=5$ đúng. Bước quy nạp: giả sử $u_{n-1}=2^{n-1}+3^{n-1}$ và $u_n=2^n+3^n$ với $n\ge 1$. Khi đó theo giả thiết truy hồi: $u_{n+1}=5u_n-6u_{n-1}=5(2^n+3^n)-6(2^{n-1}+3^{n-1})=5\cdot 2^n-3\cdot 2^n+5\cdot 3^n-2\cdot 3^n=2\cdot 2^n+3\cdot 3^n=2^{n+1}+3^{n+1}$. Vậy theo nguyên lý quy nạp, $u_n=2^n+3^n$ với mọi số tự nhiên $n$.