Trong các dãy số $(u_n)$ dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hàng đầu, công sai và tổng 50 số hạng đầu tiên của nó:
a) $u_n=3n-7$ b) $u_n=\frac{3n+2}{5}$ c) $u_n=n^2$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$:

a) $u_n=3n-7$ nên $u_{n+1}-u_n=3$ (không phụ thuộc $n$) ⇒ cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=3-7=-4$, công sai $d=3$. Tổng 50 số hạng đầu:
$$S_{50}=\frac{50}{2}(2u_1+49d)=25(-8+147)=25\cdot 139=3475.$$

b) $u_n=\frac{3n+2}{5}$ nên $u_{n+1}-u_n=\frac{3}{5}$ (không phụ thuộc $n$) ⇒ cấp số cộng với $u_1=\frac{5}{5}=1$, công sai $d=\frac{3}{5}$. Tổng 50 số hạng đầu:
$$S_{50}=25\left(2\cdot 1+49\cdot \frac{3}{5}\right)=25\left(2+\frac{147}{5}\right)=25\cdot \frac{157}{5}=785.$$

c) $u_n=n^2$ nên $u_{n+1}-u_n=2n+1$ phụ thuộc $n$ (ví dụ $u_2-u_1=3$, $u_3-u_2=5$) ⇒ không phải cấp số cộng.

Kết luận: hai dãy a) và b) là cấp số cộng với kết quả như trên.