a) Tìm số hạng không chứa $x$ (số hạng tự do) trong khai triển của ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\right)}^n$ nếu biết rằng $C_n^2-C_n^1=44$.
b) Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển của ${\left(1+x^2-x^3\right)}^8$.
c) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\right)}^n$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $C_n^2-C_n^1=44\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}-n=44\Rightarrow n^2-3n-88=0\Rightarrow n=11$ (nhận $n\ge 2$). Số hạng thứ $k+1$: $C_{11}^k{x}^{\frac{3}{2}(11-k)-4k}=C_{11}^k{x}^{\frac{33-11k}{2}}$. Không chứa $x$ khi $\frac{33-11k}{2}=0\iff k=3$. Số hạng tự do là $C_{11}^3=165$.

b) Trong khai triển $(1+x^2-x^3{)}^8$, mỗi số hạng có dạng: chọn $a$ nhân tử đóng góp $x^2$, $b$ nhân tử đóng góp $x^3$, các nhân tử còn lại đóng góp $1$. Số hạng tương ứng là $C_8^a{C}_{8-a}^b(-1{)}^b{x}^{2a+3b}$. Để chứa $x^8$ cần $2a+3b=8$ với $a,b\ge 0$, $a+b\le 8$.
Các nghiệm: $(a,b)=(4,0)$: hệ số $C_8^4=70$; $(a,b)=(1,2)$: hệ số $C_8^1{C}_7^2(-1{)}^2=8\cdot 21=168$.
Vậy hệ số của $x^8$ là $70+168=238$.

c) $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=C_{n+4}^3-C_{n+3}^3=C_{n+3}^2=7(n+3)\Rightarrow \frac{(n+3)(n+2)}{2}=7(n+3)\Rightarrow \frac{n+2}{2}=7\Rightarrow n=12$. Trong $(x^{-3}+x^{5/2}{)}^{12}$, số hạng thứ $k+1$ có số mũ $-3k+\frac{5}{2}(12-k)=30-\frac{11k}{2}=8\iff k=4$. Hệ số cần tìm là $C_{12}^4=495$.