Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1$ và $u_{n+1}=u_n+(n+1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.
a) Chứng minh rằng $(u_n)$ là một dãy số tăng.
b) Chứng minh rằng $u_n=1+(n-1).2^n$ với mọi $n\ge 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: a) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=(n+1)2^n>0$ nên $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Quy nạp: Với $n=1$: $u_1=1$ và $1+(1-1)2^1=1$, đúng.
Giả sử $u_n=1+(n-1)2^n$ với $n\ge 1$. Khi đó theo giả thiết truy hồi:
$$u_{n+1}=u_n+(n+1)2^n=1+(n-1)2^n+(n+1)2^n=1+2n\cdot 2^n=1+n\cdot 2^{n+1}=1+((n+1)-1)2^{n+1}.$$
Vậy theo nguyên lý quy nạp, $u_n=1+(n-1)2^n$ với mọi $n\ge 1$.

Kiểm tra: $u_2=1+2\cdot 2=5=1+1\cdot 4$ ✓; $u_3=5+3\cdot 4=17=1+2\cdot 8$ ✓.