Tìm số hàng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) $\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{array}$ b) $\{\begin{array}{l}{u}_1-u_3+u_5=65\\ u_1+u_7=325\end{array}$ c) $\{\begin{array}{l}{u}_3+u_5=90\\ u_2-u_6=240\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số nhân có số hàng đầu $u_1$ và công bội $q$.

a) $u_4-u_2=u_2(q^2-1)=72$, $u_5-u_3=u_3(q^2-1)=144$. Chia hai phương trình: $q=u_3/u_2=2$. Suy ra $u_2\cdot 3=72\Rightarrow u_2=24\Rightarrow u_1=12$. Vậy $u_1=12$, $q=2$.

b) $u_1(1-q^2+q^4)=65$, $u_1(1+q^6)=325$. Chia: $\frac{1+q^6}{1-q^2+q^4}=5$. Vì $1+q^6=(1+q^2)(1-q^2+q^4)$ nên $1+q^2=5\Rightarrow q=\pm 2$. Khi đó $u_1(1+64)=325\Rightarrow u_1=5$. Vậy $u_1=5$, $q=\pm 2$ (hai cấp số nhân thỏa mãn).

c) $u_3(1+q^2)=90$, $u_2(1-q^4)=240$ với $u_2=u_3/q$, tức $u_3(1-q^4)=240q$. Chia cho phương trình đầu: $\frac{1-q^4}{1+q^2}=\frac{8q}{3}$. Vì $1-q^4=(1-q^2)(1+q^2)$ nên $1-q^2=\frac{8q}{3}\Rightarrow 3q^2+8q-3=0\Rightarrow q=\frac{-8\pm 10}{6}$, tức $q=\frac{1}{3}$ hoặc $q=-3$.
- Với $q=\frac{1}{3}$: $u_3\cdot \frac{10}{9}=90\Rightarrow u_3=81\Rightarrow u_1=81\cdot 9=729$.
- Với $q=-3$: $u_3\cdot 10=90\Rightarrow u_3=9\Rightarrow u_1=1$.

Kiểm tra: a) $u_4=96,u_2=24$ hiệu $72$; $u_5=192,u_3=48$ hiệu $144$ ✓. b) $q=2$: $5-20+80=65$, $5+320=325$ ✓; $q=-2$: $5-20+80=65$, $5+320=325$ ✓. c) $q=1/3$: $u_3=81,u_5=9$ tổng $90$; $u_2=243,u_6=3$ hiệu $240$ ✓. $q=-3$: $u_3=9,u_5=81$ tổng $90$; $u_2=-3,u_6=-243$ hiệu $240$ ✓.