Xét tính tăng, giảm của các dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi:
a) $u_n=\frac{1}{n}$ b) $u_n=n^2$ c) $u_n=n-n^2$
d) $u_n=(-2{)}^n$ e) $u_n=\frac{2n+1}{3n-2}$ f) $u_n=\frac{4^n-1}{4^n+5}$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (dãy bắt đầu từ $n=1$).

a) $u_n=\frac{1}{n}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}<0$ với mọi $n$. Vậy dãy giảm.

b) $u_n=n^2$: $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1>0$ với mọi $n$. Vậy dãy tăng.

c) $u_n=n-n^2$: $u_{n+1}-u_n=(n+1)-(n+1{)}^2-n+n^2=-2n<0$ với mọi $n$. Vậy dãy giảm.

d) $u_n=(-2{)}^n$: $u_1=-2,u_2=4,u_3=-8,u_4=16,\dots$ Dãy không tăng và không giảm (đan dấu, không đơn điệu).

e) $u_n=\frac{2n+1}{3n-2}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+3}{3n+1}-\frac{2n+1}{3n-2}=\frac{(2n+3)(3n-2)-(2n+1)(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)}=\frac{(6n^2+5n-6)-(6n^2+5n+1)}{(3n+1)(3n-2)}=\frac{-7}{(3n+1)(3n-2)}<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy giảm.

f) $u_n=\frac{4^n-1}{4^n+5}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{4^{n+1}-1}{4^{n+1}+5}-\frac{4^n-1}{4^n+5}=\frac{(4^{n+1}-1)(4^n+5)-(4^{n+1}+5)(4^n-1)}{(4^{n+1}+5)(4^n+5)}$. Tử số: $(4^{2n+1}+5\cdot 4^{n+1}-4^n-5)-(4^{2n+1}-4^{n+1}+5\cdot 4^n-5)=5\cdot 4^{n+1}+4^{n+1}-4^n-5\cdot 4^n=6\cdot 4^{n+1}-6\cdot 4^n=18\cdot 4^n>0$. Vậy dãy tăng.

Kết luận: a) giảm; b) tăng; c) giảm; d) không đơn điệu; e) giảm; f) tăng.