Tìm dư của phép chia:
(1) $x^2+1$ cho $x+1$.
(2) $x^6+x^3+1$ cho $x^2+x+1$.
(3) $x^{12}+x^8+x^4+1$ cho $x^3+x^2+x+1$.
(4) $f\left(x^{100}\right)$ cho $f(x)$ với $f(x)=x^{99}+x^{98}+\cdots +x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 39: Tìm dư từng phép chia.

(1) $x^2+1=(x+1)(x-1)+2$, nên dư là $2$.

(2) Vì $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ nên khi chia cho $x^2+x+1$ ta có $x^3\equiv 1$, suy ra $x^6\equiv 1$. Do đó $x^6+x^3+1\equiv 1+1+1=3$. Dư là $3$.

(3) Số chia $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$, bậc 2 nên dư có dạng $r(x)=a{x}^2+bx+c$. Với $x=-1$: $P(-1)=1+1+1+1=4=a-b+c$. Với $x=i$ ($i^2=-1$): $P(i)=i^{12}+i^8+i^4+1=1+1+1+1=4=-a+bi+c$, suy ra $b=0$ và $-a+c=4$. Kết hợp $a+c=4$ được $a=0,c=4$. Dư là $4$.

(4) $f(x)=x^{99}+x^{98}+\cdots +x+1=\frac{x^{100}-1}{x-1}$, nên $x^{100}-1=(x-1)f(x)$, tức là $x^{100}\equiv 1(\mathrm{mod}f(x))$. Do đó với mỗi $k$: $x^{100k}\equiv 1$, nên
$$f(x^{100})=x^{9900}+x^{9800}+\cdots +x^{100}+1\equiv \underset{100\text{soˆˊ hạng}}{\underbrace{1+\cdots +1}}=100(\mathrm{mod}f(x)).$$
Vậy dư là $100$.