Phân tích ra thừa số:
(1) $P(x)=x^3+4x^2+4x+1$.
(2) $Q(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$.
(3) $H(x)=x^4+1$.
(4) $R(x)=x^8+1$.

(AI giải đề cho tôi)
(1) $P(x)=x^3+4x^2+4x+1$. Thử $x=-1$: $-1+4-4+1=0$, nên $(x+1)$ là thừa số. Chia đa thức: $P(x)=(x+1)(x^2+3x+1)$. Kiểm tra: $(x+1)(x^2+3x+1)=x^3+3x^2+x+x^2+3x+1=x^3+4x^2+4x+1$. Đúng. Tam thức $x^2+3x+1$ vô nghiệm nguyên nên không phân tích tiếp được (trên $\mathbb{R}$ có thể viết $\left(x+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)(x+1)$).

(2) $Q(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$. Nhận xét $Q(a)=a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ca)a-abc=0$, tương tự $Q(b)=Q(c)=0$. Vì $Q$ có bậc 3 với hệ số cao nhất bằng 1 và ba nghiệm $a,b,c$ nên $Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$. Kiểm tra khai triển: $x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$. Đúng.

(3) $H(x)=x^4+1$. Cộng trừ $2x^2$:
$$H(x)=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1{)}^2-(\sqrt{2}x{)}^2=\left(x^2-\sqrt{2}x+1\right)\left(x^2+\sqrt{2}x+1\right).$$
Kiểm tra: nhân lại được $x^4+2x^2+1-2x^2=x^4+1$. Đúng. (Trên $\mathbb{Z}$ thì $x^4+1$ đã là tích bất khả quy.)

(4) $R(x)=x^8+1$. Áp dụng cùng kỹ thuật với $x^4$:
$$R(x)=x^8+2x^4+1-2x^4=(x^4+1{)}^2-(\sqrt{2}{x}^2{)}^2=\left(x^4-\sqrt{2}{x}^2+1\right)\left(x^4+\sqrt{2}{x}^2+1\right).$$
Tiếp tục phân tích từng nhân tử theo cách ở (3):
- $x^4-\sqrt{2}{x}^2+1=(x^2+1{)}^2-(2+\sqrt{2})x^2=\left(x^2-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2+\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1\right)$.
- $x^4+\sqrt{2}{x}^2+1=(x^2+1{)}^2-(2-\sqrt{2})x^2=\left(x^2-\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2+\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1\right)$.

Vậy $R(x)=\prod _{k=1}^4\left(x^2+(-1{)}^k\sqrt{2+(-1{)}^{k+1}\sqrt{2}}x+1\right)$, tức
$$R(x)=\left(x^2-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2+\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2-\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2+\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1\right).$$
Mỗi tam thức có hệ số của $x^2$ bằng 1 và tích hai nghiệm bằng 1, nên các nghiệm đều có môđun 1 — đây chính là 8 nghiệm phức bậc 16 của $-1$, phù hợp vì $x^8=-1\iff x=e^{(2k+1)i\pi /8}$.