Chứng minh rằng nếu đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên tại 3 giá trị nguyên liên tiếp của biến số $x$ thì đa thức nhận giá trị nguyên tại mọi giá trị $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $f(x)=a{x}^2+bx+c$ là đa thức bậc hai, và giả sử $f(m),f(m+1),f(m+2)$ đều nguyên với $m$ nguyên. Ta viết $f(x)$ dưới dạng nội suy theo $x-m$: $$f(x)=\alpha (x-m)(x-m-1)+\beta (x-m)+\gamma ,$$ với $\alpha ,\beta ,\gamma$ là các hằng số. Thay lần lượt $x=m,m+1,m+2$: - $x=m$: $\gamma =f(m)$ nguyên. - $x=m+1$: $\beta =f(m+1)-f(m)$ nguyên. - $x=m+2$: $2\alpha +\beta =f(m+2)$, suy ra $2\alpha =f(m+2)-f(m+1)-\beta$... chính xác hơn: $f(m+2)=4\alpha +2\beta +\gamma$, nên $2\alpha =f(m+2)-2f(m+1)+f(m)$, tức $\alpha =\frac{f(m+2)-2f(m+1)+f(m)}{2}$, có thể là số bán nguyên (kiểu $\frac{k}{2}$ với $k$ nguyên). Xét $x$ nguyên tùy ý: - $\gamma =f(m)$ nguyên. - $\beta (x-m)$ nguyên vì $\beta$ và $x-m$ nguyên. - $\alpha (x-m)(x-m-1)$: tích $(x-m)(x-m-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn chẵn, do đó $\alpha (x-m)(x-m-1)=\frac{k}{2}\cdot 2t=kt$ nguyên. Vậy $f(x)$ nguyên tại mọi giá trị nguyên của $x$. Đpcm.