Cho $a$ là số nguyên. Chứng minh rằng phương trình $x^4-7x^3+(a+2)x^2-11x+a=0$ không có quá một nghiệm nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại phương trình dưới dạng $a(x^2+1)=-(x^4-7x^3+2x^2-11x)$, tức $a=\frac{-x^4+7x^3-2x^2+11x}{x^2+1}$. Chia đa thức: $-x^4+7x^3-2x^2+11x=(x^2+1)(-x^2+7x-1)+(4x+1)$, nên $a=-x^2+7x-1+\frac{4x+1}{x^2+1}$. Với $x\ge 5$ hoặc $x\le -4$ ta có $0<|4x+1|<x^2+1$ nên $\frac{4x+1}{x^2+1}$ không phải số nguyên, do đó $a$ không nguyên. Vậy nghiệm nguyên $x$ chỉ có thể thuộc $\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$. Thử trực tiếp: chỉ có $x=0$ cho $a=0$ và $x=4$ cho $a=12$; các giá trị còn lại đều cho $a$ không nguyên. Trường hợp $a=0$: phương trình $x(x^3-7x^2+2x-11)=0$, nghiệm nguyên khác của khối lập phương phải là ước của 11 là $\pm 1,\pm 11$, thử đều không thỏa, nên nghiệm nguyên duy nhất là $x=0$. Trường hợp $a=12$: phương trình $x^4-7x^3+14x^2-11x+12=0$ có $x=4$ là nghiệm; các nghiệm nguyên khác phải là ước của 12: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm 12$, thử đều cho giá trị khác 0, nên nghiệm nguyên duy nhất là $x=4$. Vậy với mọi $a$ nguyên, phương trình không có quá một nghiệm nguyên.