Tìm $a,b$ nguyên sao cho phương trình $x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1=0$ (1) có hai nghiệm trong số các nghiệm có tích bằng -1.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: đa thức $f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1$ là đa thức hồi quy (palindromic), nên nếu $u$ là nghiệm thì $\frac{1}{u}$ cũng là nghiệm (vì $u\ne 0$ do $f(0)=1$).

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm $u,v$ với $uv=-1$. Khi đó $\frac{1}{u},\frac{1}{v}$ cũng là nghiệm, và $\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{v}=\frac{1}{uv}=-1$. Vậy bốn nghiệm của phương trình là $u,v,\frac{1}{u},\frac{1}{v}$, nên:
$$f(x)=(x^2-sx-1)\left(x^2-s^{\prime }x-1\right),s=u+v,s^{\prime }=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{u+v}{uv}=-s.$$
Do đó:
$$f(x)=(x^2-sx-1)(x^2+sx-1)=(x^2-1{)}^2-s^2{x}^2=x^4-(s^2+2)x^2+1.$$
Suy ra $a=0$ và $b=-(s^2+2)$.

Kiểm tra ngược lại: với $a=0$, $b=-(s^2+2)$ và $s$ thực, hai nghiệm của $x^2-sx-1=0$ có tích $-1$ và là nghiệm của (1) vì $f(x)$ phân tích được như trên. Để $u,v$ thực (nghiệm thật) cần $s^2+4\ge 0$ (luôn đúng) và $s^2=-b-2\ge 0$, tức $b\le -2$.

Ví dụ kiểm tra: $b=-2$: $x^4-2x^2+1=(x^2-1{)}^2$, có nghiệm $1$ và $-1$ tích bằng $-1$ ✓. $b=-3$: $x^4-3x^2+1=0$, hai nghiệm của $x^2-x-1=0$ có tích $-1$ ✓.

Kết luận: $a=0$ và $b$ là số nguyên bất kỳ với $b\le -2$ (khi đó $s=\sqrt{-b-2}$, hai nghiệm $u,v$ của $x^2-sx-1=0$ có tích $-1$ và là nghiệm của phương trình (1)).