Cho $f(x)=x^3-18x^2+115x-391$. Tìm số nguyên dương $x$ để $f(x)$ là lập phương của một số nguyên dương.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=(x-6{)}^3+7x-175=(x-6{)}^3+7(x-25)$.

Với $x>25$: $f(x)>(x-6{)}^3$ và $(x-5{)}^3-f(x)=3x^2-40x+266>0$ (vì $\Delta =1600-3192<0$), nên $(x-6{)}^3<f(x)<(x-5{)}^3$: không có lập phương.

Với $13\le x\le 24$: $f(x)-(x-7{)}^3=3x^2-32x-48>0$ khi $x\ge 13$, và $f(x)<(x-6{)}^3$ khi $x<25$, nên $(x-7{)}^3<f(x)<(x-6{)}^3$: không có lập phương.

Với $x\le 10$: tính trực tiếp $f(x)<0$ (ví dụ $f(10)=-41$), không thỏa.

Kiểm tra các giá trị còn lại:
- $f(11)=1331-2178+1265-391=27=3^3$ ✓
- $f(12)=1728-2592+1380-391=125=5^3$ ✓
- $f(25)=15625-11250+2875-391=6859=19^3$ ✓ (đúng bằng $(25-6{)}^3$ vì $7(25-25)=0$).

Vậy các số nguyên dương cần tìm là $x=11,12,25$.