Chứng minh rằng với mọi giá trị của $n$ là số tự nhiên, đa thức $(x+1{)}^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho đa thức $x^2+x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\omega$ là nghiệm phức của $x^2+x+1=0$, thì ${\omega }^2+\omega +1=0$, ${\omega }^3=1$ và $\omega \ne 1$. Từ đó suy ra $\omega +1=-{\omega }^2$ và ${\omega }^2+1=-\omega$.

Xét $P(x)=(x+1{)}^{2n+1}+x^{n+2}$.

Thay $x=\omega$:
$$P(\omega )=(\omega +1{)}^{2n+1}+{\omega }^{n+2}=(-{\omega }^2{)}^{2n+1}+{\omega }^{n+2}=-{\omega }^{4n+2}+{\omega }^{n+2}.$$
Vì ${\omega }^3=1$ nên ${\omega }^{4n+2}={\omega }^{3n}\cdot {\omega }^{n+2}={\omega }^{n+2}$, do đó $P(\omega )=0$.

Thay $x={\omega }^2$ (cũng là nghiệm của $x^2+x+1$, với $({\omega }^2{)}^3=1$):
$$P({\omega }^2)=({\omega }^2+1{)}^{2n+1}+({\omega }^2{)}^{n+2}=(-\omega {)}^{2n+1}+{\omega }^{2n+4}=-{\omega }^{2n+1}+{\omega }^{2n+4}.$$
Vì ${\omega }^{2n+4}={\omega }^{2n+1}\cdot {\omega }^3={\omega }^{2n+1}$, do đó $P({\omega }^2)=0$.

Vậy $P(\omega )=P({\omega }^2)=0$ với mọi $n$ tự nhiên. Vì $x^2+x+1=(x-\omega )(x-{\omega }^2)$ có hai nghiệm phân biệt ($\omega \ne {\omega }^2$ vì $\omega \ne 1$), nên $x^2+x+1\mid P(x)$, tức đa thức $(x+1{)}^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho đa thức $x^2+x+1$. Đpcm.

Kiểm tra: với $n=0$: $P(x)=x^2+x+1$, chia hết; với $n=1$: $(x+1{)}^3+x^3=2x^3+3x^2+3x+1=(x^2+x+1)(2x+1)$, chia hết.