Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc nhị diện $[A,B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }]$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Trong lăng trụ tam giác đều, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác đều nên $A^{\prime }M\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }M=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AM\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ (theo định lý ba đường vuông góc), do đó góc nhị diện $[A,B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }]$ là góc $\widehat{AM{A}^{\prime }}$. Tam giác $AM{A}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$ với $A{A}^{\prime }=a$: $\tan \alpha =\tan \widehat{AM{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }M}=\frac{a}{a\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Kết quả khớp đáp án A.