Cho $M(a;b)$ là điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ và hai điểm $A(1;2)$, $B(2;1)$. Khi $MA+MB$ ngắn nhất thì giá trị $b-4a$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, cực đại tại $(-1;2)$, cực tiểu tại $(1;-2)$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị: $y=-2x$ hay $2x+y=0$.

Để $MA+MB$ ngắn nhất, lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A(1;2)$ qua đường thẳng $2x+y=0$. Với $a=2,b=1,c=0$: $a{x}_0+b{y}_0+c=4$, nên $A^{\prime }=\left(1-\frac{2\cdot 2\cdot 4}{5};2-\frac{2\cdot 1\cdot 4}{5}\right)=\left(-\frac{11}{5};\frac{2}{5}\right)$.

Đường thẳng $A^{\prime }B$ với $B(2;1)$ có hệ số góc $\frac{1-2/5}{2+11/5}=\frac{3/5}{21/5}=\frac{1}{7}$, phương trình: $y=\frac{x}{7}+\frac{5}{7}$.

Giao với $y=-2x$: $-2x=\frac{x}{7}+\frac{5}{7}\Rightarrow -14x=x+5\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$.

Vậy $M\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, tức $a=-\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}$, khi đó $b-4a=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1702, Phần III Câu 2 = 2).