Cho số thực dương $a$ khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục $Ox$ mà cắt các đồ thị $y=4^x,y=a^x$, trục tung lần lượt tại $M,N$ và $A$ thì $AN=2AM$. Giá trị của $a$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Với đường thẳng $y=t>0$: $M({\log }_{4}t;t)$, $N({\log }_{a}t;t)$, $A(0;t)$. Hình vẽ cho thấy $N$ nằm bên trái trục tung (đường $y=a^x$ nghịch biến, $a<1$) và $M$ bên phải, nên $AN=|{\log }_{a}t|=-{\log }_{a}t$, $AM={\log }_{4}t$. Điều kiện $AN=2AM$ với mọi $t$: $-{\log }_{a}t=2{\log }_{4}t={\log }_{2}t$, suy ra ${\log }_{a}t=-{\log }_{2}t$ với mọi $t$, tức $a=\frac{1}{2}$. Kiểm tra: $a=\frac{1}{2}$ thì ${\log }_{1/2}t=-{\log }_{2}t$, nên $AN={\log }_{2}t=2{\log }_{4}t=2AM$ đúng với mọi $t>0$. Vậy $a=\frac{1}{2}$, chọn D.