Cho tam giác ABC có điểm M là trung điểm AC, điểm E là điểm đối xứng với điểm B qua điểm C. Gọi F là điểm thỏa $\overrightarrow{AF}=x.\overrightarrow{AB}$. Tìm x (làm tròn đến hàng phần trăm) sao cho CF//EM.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ (không cùng phương). Khi đó:
- $M$ là trung điểm $AC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{c}$.
- $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm $BE$: $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$, suy ra $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=2\vec{c}-\vec{b}$.
- $F$: $\overrightarrow{AF}=x\vec{b}$.

Tính $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=x\vec{b}-\vec{c}$ và $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec{c}-(2\vec{c}-\vec{b})=\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}$.

Để $CF\parallel EM$, tồn tại $k$ sao cho $x\vec{b}-\vec{c}=k\left(\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}\right)$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$ và $\vec{c}$: $x=k$ và $-1=-\frac{3}{2}k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$. Vậy $x=\frac{2}{3}\approx 0,67$.

Kiểm tra: với $x=\frac{2}{3}$, $\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}=\frac{2}{3}\left(\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{EM}$, đúng yêu cầu song song.