Cho tam giác $ABC$, $S$ là một điểm không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SCM)$ và $(SAN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 78: Ta có $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SCM)$ và $(SAN)$ nên $S$ thuộc giao tuyến. Trong mặt phẳng $(ABC)$: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel BC$. Xét tam giác $SBC$: $M$ thuộc $AB\subset (SBC)$... chính xác hơn, $M$ là trung điểm $AB$ nên $M$ không thuộc tam giác $SBC$; thay vào đó xét: $N$ thuộc $AC$, và $MN\parallel BC$ với $M\in AB$, $N\in AC$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, đường thẳng qua $M$ song song $BC$ cắt $SC$ tại $I$ với $\frac{SI}{IC}=\frac{SM}{MB}$... Cách chuẩn: Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$: vì $MN\parallel BC$, $M\in (SBC)$, đường thẳng $d$ qua $M$ song song $BC$ nằm trong $(SBC)$, cắt $SC$ tại $I$ với $I$ là trung điểm $SC$ (do $M$ trung điểm $AB$, tam giác $SAB$... ). Cụ thể: trong tam giác $SAC$, $N$ là trung điểm $AC$; đường thẳng qua $N$ song song với... Ta chứng minh $I$ (trung điểm $SC$) thuộc cả hai mặt phẳng: $I\in SC\subset (SCM)$; trong tam giác $SAB$, đường trung bình... Xét tam giác $SBC$: $I$ trung điểm $SC$, đường thẳng qua $I$ song song $BC$ cắt $SB$ tại trung điểm của $SB$; không cần. Kết luận: $MN\parallel BC$ nên $MN\parallel (SBC)$. Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Trong tam giác $SAB$: không dùng. Thay vào đó: vì $MN\parallel BC$, mặt phẳng $(SMN)$ song song $BC$... Cách trình bày gọn: $I$ là giao điểm của $SC$ với đường thẳng qua $N$ song song $SB$ trong $(SAC)$? Không. Trình bày đúng: Trong mặt phẳng $(SAC)$, $N$ là trung điểm $AC$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, gọi $I$ là trung điểm $SC$. Ta có $NI$ là đường trung bình tam giác $SAC$? $I\in SC$, $N\in AC$, tam giác $SAC$: $I$ trung điểm $SC$, $N$ trung điểm $AC$ $\Rightarrow NI\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAN)$ nên $I\in (SAN)$ (vì $NI\parallel SA$, $N\in (SAN)$, đường thẳng qua $N$ song song $SA$ nằm trong $(SAN)$, và $I$ thuộc đường thẳng đó). Đồng thời $I\in SC\subset (SCM)$. Vậy $I$ thuộc cả hai mặt phẳng. Mặt khác $S$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(SCM)$ và $(SAN)$ là đường thẳng $SI$ (đường trung tuyến của tam giác $SBC$ từ $S$, tức đường thẳng qua $S$ và trung điểm $I$ của $SC$).