Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD=BC=BD=2a$, $\Delta BCD$ vuông cân tại $B$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $CD$. $I$ là trung điểm đoạn $MN$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B=(0,0,0)$, $C=(2a,0,0)$, $D=(0,2a,0)$ vì $△BCD$ vuông cân tại $B$ với $BC=BD=2a$. Vì $AB=AC=AD=2a$ nên tọa độ $A$ thỏa $x=y=a$, $z=a\sqrt{2}$, tức $A=(a,a,a\sqrt{2})$.

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}-3\vec{A}=(2a,2a,0)-(3a,3a,3a\sqrt{2})=(-a,-a,-3a\sqrt{2})$. Còn $I$ trung điểm $MN$ với $M=(a/2,a/2,a\sqrt{2}/2)$, $N=(a,a,0)$ nên $I=(3a/4,3a/4,a\sqrt{2}/4)$, do đó $3\overrightarrow{AI}=(-3a/4,-3a/4,-9a\sqrt{2}/4)\ne (-a,-a,-3a\sqrt{2})$. Mệnh đề SAI (chỉ đúng khi $I$ là trọng tâm tam giác $BCD$, không phải trung điểm $MN$).

b) $\overrightarrow{AD}=(-a,a,-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{BC}=(2a,0,0)$, tích vô hướng $=-2a^2$, $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|=2a$ nên $\cos =-\frac{2a^2}{4a^2}=-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$. ĐÚNG.

c) $\overrightarrow{MN}=(a/2,a/2,-a\sqrt{2}/2)$ nên $|\overrightarrow{MN}|=a\sqrt{1/4+1/4+1/2}=a$. Vì $I$ là trung điểm $MN$ nên $|\overrightarrow{IM}|=a/2=a|\overrightarrow{MN}|/2$, tức $|\overrightarrow{MN}|=2|\overrightarrow{IM}|$. ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{AB}=(-a,-a,-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AB}=-a^2/2-a^2/2+a^2=0$. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ $A=(a,a,a\sqrt{2})$, $I=(3a/4,3a/4,a\sqrt{2}/4)$. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(-a,-a,-3a\sqrt{2})$ còn $3\overrightarrow{AI}=(-3a/4,-3a/4,-9a\sqrt{2}/4)$, hai vế không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=-2a^2$, hai vectơ cùng độ dài $2a$ nên $\cos (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC})=-1/2$, góc $120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{MN}|=a$ và $I$ là trung điểm $MN$ nên $|\overrightarrow{IM}|=a/2$, suy ra $|\overrightarrow{MN}|=2|\overrightarrow{IM}|$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AB}=-a^2/2-a^2/2+a^2=0$.