Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=2$, $BD=6$, $AC\perp BD$. Gọi $M$, $N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính $M{N}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đẳng thức trung tuyến trong tứ diện: với $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $CD$ thì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Thật vậy, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$, và cũng $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$; cộng hai biểu thức lại được $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$. Do đó $M{N}^2=\frac{1}{4}\left(A{C}^2+B{D}^2+2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}\right)=\frac{1}{4}(4+36+0)=10$ vì $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$. Vậy $M{N}^2=10$.