Cho tứ diện $ABCD$. Trên $AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $MN$ không song song với $CD$. Gọi $O$ là điểm thuộc miền trong tam giác $BCD$. Tìm giao điểm của
a) Đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(OMN)$.
b) Đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(OMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $MN$ không song song với $CD$ mà $MN\subset (ACD)$, $CD\subset (BCD)$, nên $MN$ cắt $CD$ tại một điểm $I$ (hai đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ và không song song). Khi đó $I\in MN\subset (OMN)$ và $I\in CD\subset (BCD)$, tức $I$ thuộc giao tuyến của $(OMN)$ và $(BCD)$. Mặt khác $O\in (OMN)$ và $O\in (BCD)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $OI$.

a) Trong mặt phẳng $(BCD)$, vì $O$ thuộc miền trong tam giác $BCD$ và $I$ nằm trên $CD$ (ngoài đoạn $BD$), đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BD$ tại một điểm $P$ duy nhất. Khi đó $P\in BD\subset (BCD)$ và $P\in OI\subset (OMN)$, vậy $P=BD\cap (OMN)$.

b) Tương tự, trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại một điểm $Q$ duy nhất. Khi đó $Q\in BC\subset (BCD)$ và $Q\in OI\subset (OMN)$, vậy $Q=BC\cap (OMN)$.

(Kết luận: giao tuyến của $(OMN)$ với $(BCD)$ là $OI$; $BD\cap (OMN)=\{P\}$ với $P=BD\cap OI$; $BC\cap (OMN)=\{Q\}$ với $Q=BC\cap OI$.)