Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}\right)$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh tứ diện đều bằng $a$. Ta có $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}$ với $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=-\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{a^2}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}$. Mặt khác $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{DM}|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung điểm trong tam giác đều). Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}\right)=\frac{a^2/4}{a\cdot a\sqrt{3}/2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$. Suy ra $a=3,b=6$, do đó $T=a+b=9$.