Cho tứ diện đều $S.ABC$ có tất cả các cạnh bằng $a$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều cạnh $a$: mỗi góc giữa hai cạnh từ một đỉnh bằng $60^{\circ }$.
a) $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$ nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$ → đúng.
c) $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot (\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$ → góc bằng $90^{\circ }$, đúng.
d) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{SC}}^2=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng mỗi cặp bằng $a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}$ với $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{SC}}^2=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$.