Cho $x,y$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $10^{x^2+y^2+2}+\log \frac{x^2+y^2+2}{4x+6y-7}\le 10^{4x+6y-7}$. Tập giá trị của biểu thức $P=x^2+y^2-20x+8y$ có bao nhiêu số nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=x^2+y^2+2\ge 2$ và $b=4x+6y-7$. Điều kiện log: $\frac{a}{b}>0$, mà $a>0$ nên $b>0$. Bất đẳng thức $10^a+\log \frac{a}{b}\le 10^b$ tương đương $10^a-a\le 10^b-b$. Xét $f(t)=10^t-t$ với $t\ge 2$: $f^{\prime }(t)=10^t\ln 10-1>0$ nên $f$ đồng biến, do đó $a\le b$, tức $x^2+y^2+2\le 4x+6y-7\iff (x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 16$ (đường tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $4$; mọi điểm này thỏa $b>0$).

Ta có $P=x^2+y^2-20x+8y=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116$, tâm $J(10;-4)$. Khoảng cách $IJ=\sqrt{8^2+7^2}=\sqrt{113}\approx 10,63>4$.

Giá trị lớn nhất: $P_{\max }=(\sqrt{113}+4{)}^2-116=129+8\sqrt{113}-116\approx 98,05$.
Giá trị nhỏ nhất: $P_{\min }=(\sqrt{113}-4{)}^2-116=129-8\sqrt{113}-116\approx -72,05$.

Vậy $P\in \left[129-8\sqrt{113}-116;129+8\sqrt{113}-116\right]\approx [-72,05;98,05]$, các giá trị nguyên từ $-72$ đến $98$: có $98-(-72)+1=171$ số nguyên.