Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a;b)$ để hàm số $f(x)=x^4+a{x}^3+bx+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x=1$?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2+b$. Để $x=1$ là điểm cực tiểu (điểm đạt GTNN của hàm bậc 4 trùng với điểm cực tiểu duy nhất hoặc cực tiểu thấp nhất), trước hết $f^{\prime }(1)=0$: $4+3a+b=0\Rightarrow b=-3a-4$. Khi đó $f^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2-3a-4=(x-1)\left(4x^2+(3a+4)x+(3a+4)\right)$. Để $x=1$ là điểm cực tiểu cần $f^{\prime \prime }(1)=12+6a>0\Rightarrow a>-2$. Để $x=1$ là điểm cực tiểu duy nhất (nên là điểm đạt GTNN trên $\mathbb{R}$), tam thức $4x^2+(3a+4)x+(3a+4)$ phải không đổi dấu (dương) hoặc triệt tiêu, tức $\Delta =(3a+4{)}^2-16(3a+4)=(3a+4)(3a-12)\le 0\Rightarrow -\frac{4}{3}\le a\le 4$. Kết hợp $a>-2$ và $a$ nguyên: $a\in \{-1,0,1,2,3,4\}$, tức 6 giá trị; mỗi giá trị ứng với $b=-3a-4$ nguyên. Vậy có 6 cặp $(a;b)$. (Kiểm tra ví dụ $a=-1,b=-1$: $f(x)=x^4-x^3-x+1=(x-1{)}^2(x^2+x+1)\ge 0$ đạt min tại $x=1$.) Đáp án D.