Có bao nhiêu cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn điều kiện sau: $6x+9y\sqrt{{\log }_2\left(2x^4+4x^{2}y-16+2y^2\right)-{\log }_2^2\left(x^2+y\right)}=3{\log }_6\left(x^2+5x+y-3\right)+2x+1$?

Điều kiện biểu thức dưới dấu căn có nghĩa: ${\log }_2\left[2{\left(x^2+y\right)}^2-16\right]\ge {\log }_2^2\left(x^2+y\right)(\ast )$.
Đặt $t={\log }_2\left(x^2+y\right)\Rightarrow x^2+y=2^t$. Áp dụng BĐT Cô-si: $2^{t^2}+16=2^{t^2}+2^4\ge 2\sqrt{2^{t^2+4}}\ge 2\cdot 2^{2t}\Rightarrow t^2\ge {\log }_2\left(2\cdot 2^{2t}-16\right)$.
Kết hợp với $(\ast )$ suy ra dấu bằng phải xảy ra: $x^2+y=4\iff y=4-x^2$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành: $6x=3{\log }_6(5x+1)+2x+1$ (trong lời giải gốc biến đổi về khảo sát hàm số $f(x)=x-{\log }_6(5x+1)$ trên $\left(-\frac{1}{5};+\infty \right)$ có $f^{\prime \prime }(x)=\frac{25}{(5x+1{)}^2\ln 6}>0$, nên phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt $x$, suy ra có $2$ cặp số thực $(x;y)$).

[IMAGE:img_1]