Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $2{\log }_2(x-3)+(2m+5){\log }_{\sqrt{x-3}}2=2m$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<x_2<5$.

Điều kiện: $3<x\ne 4$.
Phương trình tương đương ${\log }_2^2(x-3)-m{\log }_2(x-3)+(2m+5)=0$.
Đặt $t={\log }_2(x-3)$; vì $x\in (3;5)\setminus \{4\}$ nên $t\in (-\infty ;1)\setminus \{0\}$.
Phương trình trở thành $f(t)=t^2-mt+2m+5=0$.
Yêu cầu bài toán tương đương $f(t)=0$ có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2\in (-\infty ;1)\setminus \{0\}$:
$\{\begin{array}{l}\Delta =m^2-8m-20>0\\ f(1)=m+6>0\\ f(0)=2m+5\ne 0\\ \frac{S}{2}=\frac{m}{2}<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in (-6;-2)\\ m\ne -\frac{5}{2}\end{array}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-5;-4;-3\}$ (có $3$ giá trị nguyên).