Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $(x-1)\log (e^{-x}+m+2023)=x-2$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Điều kiện: $e^{-x}+m+2023>0$.
Với $x=1$, ta có $(1-1)\log (...)=0\ne 1-2=-1$ nên $x=1$ không là nghiệm.
Với $x\ne 1$, phương trình tương đương:
$\log (e^{-x}+m+2023)=\frac{x-2}{x-1}\iff e^{-x}+m+2023=10^{\frac{x-2}{x-1}}\iff m+2023=10^{\frac{x-2}{x-1}}-e^{-x}$.
Xét hàm số $g(x)=10^{\frac{x-2}{x-1}}-e^{-x}$ với $x\ne 1$.
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}10^{\frac{x-2}{x-1}}\ln 10+e^{-x}>0,\forall x\ne 1$.
Bảng biến thiên:
- Khi $x\in (-\infty ;1)$, $g(x)$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$.
- Khi $x\in (1;+\infty )$, $g(x)$ tăng từ $-\frac{1}{e}$ đến $10$.
Do nhánh $(-\infty ;1)$ luôn cắt đường thẳng $y=m+2023$ tại đúng 1 điểm, nên để có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng phải cắt nhánh $(1;+\infty )$ tại đúng 1 điểm:
$-\frac{1}{e}<m+2023<10\iff -2023-\frac{1}{e}<m<-2013$.
Vì $-\frac{1}{e}\approx -0,368$ nên $-2023,368<m<-2013$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2023,-2022,\dots ,-2014\}$, có $10$ giá trị nguyên thỏa mãn.