Có bao nhiêu số nguyên $y$ thuộc $(-2022;2022)$ để tồn tại số thực $x$ sao cho $2{\log }_2(x+\sqrt{3}y)-2={\log }_{\sqrt{3}}(x^2+y^2-1)$?

Đặt ${\log }_2\left(\frac{x+\sqrt{3}y}{2}\right)={\log }_3(x^2+y^2-1)=t$. Suy ra $x+\sqrt{3}y=2^{t+1}$ và $x^2+y^2=3^t+1$. Theo Cauchy-Schwarz: $(x+\sqrt{3}y{)}^2\le 4(x^2+y^2)\Rightarrow 4^{t+1}\le 4(3^t+1)\iff 4^t\le 3^t+1\iff t\le 1$. Với $t\le 1\Rightarrow x^2+y^2\le 4\Rightarrow y^2\le 4$. Kiểm tra các giá trị nguyên của $y$ ta thu được đúng 2 giá trị nguyên thỏa mãn. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.