Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=\frac{1}{x^2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Với $x_0\ne 0$, theo định nghĩa:
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x_0^2}}{x-x_0}.$$
Rút gọn tử số:
$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x_0^2}=\frac{x_0^2-x^2}{x^2{x}_0^2}=\frac{(x_0-x)(x_0+x)}{x^2{x}_0^2}=-\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x^2{x}_0^2}.$$
Do đó
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(-\frac{x+x_0}{x^2{x}_0^2}\right)=-\frac{2x_0}{x_0^4}=-\frac{2}{x_0^3}.$$
Vậy với mọi $x\ne 0$: $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^{-2}$ là $-2x^{-3}$, khớp kết quả.