Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{x-2}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=-2x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. $f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)-x}{(x-2{)}^2}=\frac{-2}{(x-2{)}^2}$. Tiếp tuyến song song với $d:y=-2x+1$ nên $f^{\prime }(x_0)=-2\Rightarrow \frac{-2}{(x_0-2{)}^2}=-2\Rightarrow (x_0-2{)}^2=1\Rightarrow x_0=1$ hoặc $x_0=3$. Với $x_0=1$: $f(1)=-1$, tiếp tuyến $y=-2(x-1)-1=-2x+1$. Với $x_0=3$: $f(3)=3$, tiếp tuyến $y=-2(x-3)+3=-2x+9$. Kiểm tra: cả hai đường đều có hệ số góc $-2$, thỏa yêu cầu.