Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{1-x^2}+x+2$ là $a+\sqrt{b}$, trong đó $a,b$ là các số tự nhiên. Khi đó kết quả $a+b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x=\cos t$ với $t\in [0;\pi ]$, khi đó $\sqrt{1-x^2}=\sin t\ge 0$. Hàm số trở thành $y=\sin t+\cos t+2=\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)+2$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $y_{\max }=2+\sqrt{2}$ (tương ứng $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$). Vậy $a=2$, $b=2$, suy ra $a+b=4$, khớp với đáp án nguồn.