Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số $y=x-\ln x$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2};e\right]$. Giá trị của $M-m$ là

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x-\ln x$ xác định trên $\left[\frac{1}{2};e\right]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{x}$, nên $y^{\prime }=0\iff x=1$. Trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), trên $[1;e]$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến), nên $m=y(1)=1-\ln 1=1$. So sánh giá trị tại hai đầu: $y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\ln 2\approx 1,193$ và $y(e)=e-1\approx 1,718$, nên $M=e-1$. Vậy $M-m=(e-1)-1=e-2$. Chọn đáp án D.