Hai quả bóng bay được thả lên cùng một địa điểm. Sau một khoảng thời gian, quả bóng thứ nhất nằm cách địa điểm xuất phát 200m về hướng Đông và 200m về hướng Nam, đồng thời cách mặt đất 50m; quả bóng thứ hai nằm cách địa điểm xuất phát 100m về hướng Tây và 100m về hướng Bắc, đồng thời cách mặt đất 40m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai quả bóng này. Biết rằng so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai quả bóng bay là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này (đơn vị: mét) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O là địa điểm thả bóng, trục Ox hướng Đông, Oy hướng Bắc, Oz hướng lên. Quả bóng thứ nhất: A(200; -200; 50), quả bóng thứ hai: B(-100; 100; 40). Người quan sát M(x; y; 0) trên mặt đất. Cần min f(M) = MA + MB.

Phản điểm A qua mặt đất: A'(200; -200; -50). Khi đó MA + MB = MA' + MB ≥ A'B, dấu bằng khi M là giao điểm của A'B với mặt phẳng z = 0.

Đường thẳng A'B: (x;y;z) = (200; -200; -50) + t(-300; 300; 90). z = 0 khi t = 5/9, suy ra M(200 - 500/3; -200 + 500/3; 0) = (100/3; -100/3; 0).

Khoảng cách từ người quan sát đến địa điểm thả bóng: OM = √((100/3)² + (100/3)²) = (100√2)/3 ≈ 47,14 ≈ 47 (m).

Kết quả khớp với đáp án nguồn 47.