Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x\left(3e^{2x-1}-2\right)$ là $F(x)=a{e}^{3x}+b{e}^x+C$ với $a,b,C\in \mathbb{R}$. Độ dài của vectơ $\vec{u}=(ae;b)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=e^x\left(3e^{2x-1}-2\right)=3e^{-1}{e}^{3x}-2e^x$. Do đó $\int f(x)dx=3e^{-1}\cdot \frac{e^{3x}}{3}-2e^x+C=e^{-1}{e}^{3x}-2e^x+C$, suy ra $a=\frac{1}{e}$, $b=-2$. Khi đó vectơ $\vec{u}=(ae;b)=(1;-2)$ nên $\left|\vec{u}\right|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 16: D).