Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) $y=\sin x$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}\right)$ b) $y=\cos x$ trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$

c) $y=\cot \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$ d) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 126: Khảo sát sự biến thiên (xét tính đơn điệu và giới hạn tại hai đầu khoảng).

a) $y=\sin x$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}\right)$: với mọi $x$ trong khoảng này ta có $\cos x>0$ nên $y^{\prime }=\cos x>0$, hàm số đồng biến trên khoảng. Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\pi /4^{+}}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\lim }_{x\to \pi /3^{-}}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy hàm đồng biến, nhận mọi giá trị trong $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

b) $y=\cos x$ trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$: $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$ (vì $\sin x>0$ khi $x\in (\pi /3,\pi )$ và $\sin x<0$ khi $x\in (\pi ,3\pi /2)$, do đó $-\sin x>0$... kiểm tra lại: với $x\in (\pi ,3\pi /2)$, $\sin x<0$ nên $-\sin x>0$). Xét kỹ: trên $\left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$, $\sin x>0\Rightarrow y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến; trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, $\sin x<0\Rightarrow y^{\prime }>0$, hàm đồng biến. Giá trị: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$ (giá trị nhỏ nhất, đạt tại $x=\pi$), ${\lim }_{x\to 3\pi /2^{-}}\cos x=0$. Vậy hàm nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$ từ $\frac{1}{2}$ xuống $-1$, rồi đồng biến trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ từ $-1$ lên tiến tới $0$; tập giá trị là $\left[-1;\frac{1}{2}\right)$.

c) $y=\cot \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$: đặt $t=x-\frac{\pi }{6}$ thì $t\in \left(-\frac{11\pi }{12};-\frac{2\pi }{3}\right)\subset (-\pi ;0)$, khoảng này nằm trọn trong một khoảng liên tục của cot nên hàm xác định trên toàn khoảng đã cho. Vì $\cot$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ,(k+1)\pi )$, hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2}\right)$. Giới hạn: khi $x\to -{\frac{3\pi }{4}}^{+}$, $t\to -{\frac{11\pi }{12}}^{+}$, $\cot \left(-\frac{11\pi }{12}\right)=\cot \frac{\pi }{12}=2+\sqrt{3}$; khi $x\to -{\frac{\pi }{2}}^{-}$, $t\to -{\frac{2\pi }{3}}^{-}$, $\cot \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy hàm nghịch biến, nhận mọi giá trị trong $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};2+\sqrt{3}\right)$.

d) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$: đặt $t=x+\frac{\pi }{3}$, $t\in \left(\frac{\pi }{12};\frac{5\pi }{6}\right)$. Hàm tan không xác định khi $t=\frac{\pi }{2}$, tức $x=\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số không xác định tại $x=\frac{\pi }{6}$. Trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6}\right)$ và $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$, do $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}>0$, hàm số đồng biến. Giới hạn: khi $x\to -{\frac{\pi }{4}}^{+}$, $y\to \tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$; khi $x\to {\frac{\pi }{6}}^{-}$, $y\to +\infty$; khi $x\to {\frac{\pi }{6}}^{+}$, $y\to -\infty$; khi $x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$, $y\to \tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy hàm đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6}\right)$ với tập giá trị $(2-\sqrt{3};+\infty )$, và đồng biến trên $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$ với tập giá trị $\left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.