Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=1-\sin 5x$. b) $y={\cos }^{2}x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 125: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì.

a) $y=1-\sin 5x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Ta có $\sin 5x$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\frac{2\pi }{5}$, nên với mọi $x$:
$$f\left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=1-\sin \left(5x+2\pi \right)=1-\sin 5x=f(x).$$
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$ (là chu kì nhỏ nhất vì $\sin 5x$ có chu kì nhỏ nhất $\frac{2\pi }{5}$).

b) $y={\cos }^{2}x-1$. Dùng công thức hạ bậc:
$$y={\cos }^{2}x-1=\frac{1+\cos 2x}{2}-1=\frac{\cos 2x-1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}.$$
Vì $\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$, hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$ (chu kì nhỏ nhất, do $\cos 2x$ có chu kì nhỏ nhất $\pi$).