Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) $y=2x\sin x$. b) $y=\cos x+\sin 2x$.

c) $y=\frac{\cos 2x}{x}$. d) $y={\tan }^{7}2x.\sin 5x$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 124: Xét tính chẵn lẻ.

a) $y=2x\sin x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$ đối xứng. Với mọi $x$: $y(-x)=2(-x)\sin (-x)=(-2x)(-\sin x)=2x\sin x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

b) $y=\cos x+\sin 2x$, $D=\mathbb{R}$. $y(-x)=\cos (-x)+\sin (-2x)=\cos x-\sin 2x$. Ta có $y(-x)\ne y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$) và $y(-x)\ne -y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{2}$: $y(\frac{\pi }{2})=0$, $y(-\frac{\pi }{2})=0\ne 0$? kiểm tra: $y(\frac{\pi }{2})=\cos \frac{\pi }{2}+\sin \pi =0$, $y(-\frac{\pi }{2})=0$, nên $y(-x)=y(x)$ tại điểm đó; nhưng tại $x=\frac{\pi }{4}$: $y(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\ne y(-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$, và $-y(\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\ne y(-\frac{\pi }{4})$). Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

c) $y=\frac{\cos 2x}{x}$, $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng. $y(-x)=\frac{\cos (-2x)}{-x}=\frac{\cos 2x}{-x}=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

d) $y={\tan }^{7}2x\cdot \sin 5x$, $D=\{x:\cos 2x\ne 0\}$ đối xứng qua gốc toạ độ. $\tan (-2x)=-\tan 2x$ nên ${\tan }^7(-2x)=-{\tan }^{7}2x$; $\sin (-5x)=-\sin 5x$. Do đó $y(-x)=(-{\tan }^{7}2x)(-\sin 5x)={\tan }^{7}2x\sin 5x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.