Lợi nhuận thu được P (nghìn USD) của một công ty khi dùng số tiền $x$ (nghìn USD) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức $P(x)=-\frac{1}{5}{x}^3+3x^2+1800$ với $0\le x\le 20$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:
a) Lợi nhuận của công ty tăng khi số tiền chi cho quảng cáo tăng trên toàn bộ khoảng [0;20].
b) Có hai phương án giúp công ty có thể thu được lợi nhuận bằng 1850 nghìn USD.
c) Hàm số $P=P(x)$ có hai điểm cực trị trên khoảng (0;20).
d) Lợi nhuận tối đa mà công ty thu được bằng $\frac{19}{10}$ triệu USD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-\frac{1}{5}{x}^3+3x^2+1800$, $0\le x\le 20$; $P^{\prime }(x)=-\frac{3}{5}{x}^2+6x=\frac{3x}{5}(10-x)$. Trên $(0;10)$ có $P^{\prime }(x)>0$, trên $(10;20)$ có $P^{\prime }(x)<0$.
a) Sai: hàm số chỉ đồng biến trên $[0;10]$ và nghịch biến trên $[10;20]$, không tăng trên toàn bộ $[0;20]$.
b) Đúng: $P(x)=1850\iff -\frac{x^3}{5}+3x^2=50\iff x^3-15x^2+250=0\iff (x-5)(x^2-10x-50)=0\iff x=5$ hoặc $x=5\pm 5\sqrt{3}$. Trong $[0;20]$ có hai nghiệm $x=5$ và $x=5+5\sqrt{3}\approx 13,66$, vậy có hai phương án.
c) Sai: $P^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,10,20$; trên khoảng $(0;20)$ chỉ có một điểm cực trị là $x=10$ (cực đại).
d) Đúng: lợi nhuận lớn nhất tại $x=10$: $P(10)=-\frac{1000}{5}+300+1800=1900$ nghìn USD $=\frac{19}{10}$ triệu USD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(x)=\frac{3x}{5}(10-x)$; $P^{\prime }(x)<0$ trên $(10;20)$ nên hàm số không tăng trên toàn bộ $[0;20]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=1850\iff x^3-15x^2+250=0\iff (x-5)(x^2-10x-50)=0$, hai nghiệm thuộc $[0;20]$ là $x=5$ và $x=5+5\sqrt{3}\approx 13,66$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,10,20$; trên khoảng $(0;20)$ chỉ có một điểm cực trị $x=10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(10)=1900$ nghìn USD $=\frac{19}{10}$ triệu USD là giá trị lớn nhất trên $[0;20]$.