Người ta chế tạo một chiếc hộp chữ nhật có thể tích $520c{m}^3$, chiều cao là 13 cm. Gọi $x,y$ là các kích thước còn lại của chiếc hộp với $x>0,y>0$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
a) $y=\frac{40}{x}$.
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S(x)=80+13x+\frac{1040}{x}$.
c) $S^{\prime }(x)=\frac{26x^2-1040}{x^2}$.
d) Chi phí vật liệu làm hộp nhỏ nhất khi $x=2\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $13xy=520\Rightarrow xy=40\Rightarrow y=\frac{40}{x}$ với $x>0$. Vậy a) đúng.

b) Diện tích toàn phần: $S=2(xy+13x+13y)=2\cdot 40+26x+26\cdot \frac{40}{x}=80+26x+\frac{1040}{x}$. Khẳng định $S(x)=80+13x+\frac{1040}{x}$ sai (hệ số của $x$ phải là 26 chứ không phải 13). Vậy b) sai.

c) Với $S(x)=80+26x+\frac{1040}{x}$ ta có $S^{\prime }(x)=26-\frac{1040}{x^2}=\frac{26x^2-1040}{x^2}$. Vậy c) đúng.

d) $S^{\prime }(x)=0\iff 26x^2=1040\iff x^2=40\iff x=2\sqrt{10}$ (vì $x>0$). $S^{\prime }(x)<0$ khi $x<2\sqrt{10}$ và $S^{\prime }(x)>0$ khi $x>2\sqrt{10}$ nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $x=2\sqrt{10}\approx 6.32$. Vậy d) đúng.

Lưu ý: mặc dù biểu thức $S(x)$ ở câu b) sai, nhưng đạo hàm ở c) và giá trị tối tiểu ở d) khớp với hàm $S$ đúng $S(x)=80+26x+\frac{1040}{x}$, nên c) và d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$13xy=520\Rightarrow xy=40\Rightarrow y=\frac{40}{x}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=2(xy+13x+13y)=80+26x+\frac{1040}{x}$, không phải $80+13x+\frac{1040}{x}$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $S(x)=80+26x+\frac{1040}{x}$ thì $S^{\prime }(x)=26-\frac{1040}{x^2}=\frac{26x^2-1040}{x^2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=0\iff x=2\sqrt{10}$, $S^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $S$ nhỏ nhất tại $x=2\sqrt{10}\approx 6.32$, đúng.