Lớp 12E có 20 bạn nam và 20 bạn nữ.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 20 nam, 20 nữ, chia thành 4 tổ (phân biệt) mỗi tổ 10 bạn.

a) Chọn lần lượt 10 bạn cho tổ 1, tổ 2, tổ 3 (tổ 4 tự确定): số cách = $C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}$. Đúng.

b) Tổ có nam, nữ bằng nhau nghĩa là mỗi tổ 5 nam, 5 nữ. Số cách thuận lợi: chia 20 nam vào 4 tổ mỗi tổ 5 nam là $C_{20}^5{C}_{15}^5{C}_{10}^5=(C_{20}^5{)}^4$ (vì $C_{15}^5=C_{10}^5=C_{20}^5=15504$), tương tự cho nữ. Xác suất:
$$P=\frac{(C_{20}^5{)}^4}{C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}}=\frac{15504^4}{847660528\cdot 30045015\cdot 184756}\approx \frac{5.778\cdot 10^{16}}{4.705\cdot 10^{21}}\approx 1.23\cdot 10^{-5},$$
không phải $0.03$. Sai.

c) Số nữ các tổ lập cấp số cộng: $f_1,f_1+d,f_1+2d,f_1+3d$ với tổng $4f_1+6d=20\Rightarrow 2f_1+3d=10$. Chọn $d=0,f_1=5$: mỗi tổ 5 nữ, 5 nam — thỏa mãn (số nam $10-f_i$ cũng tự động lập cấp số cộng). Vậy thầy chia được. Đúng.

d) Vì mỗi tổ 10 bạn nên $k_i=\text{nam}-\text{nữ}=2\cdot \text{nam}-10$ là số chẵn; điều kiện có cả nam lẫn nữ và chênh lệch nhiều hơn 3 bạn cho $k_i\in \{\pm 4,\pm 6,\pm 8\}$. Bốn số lập cấp số nhân với $q\ne 1$: xét mọi cấp số nhân 4 số hạng lấy từ $\{\pm 4,\pm 6,\pm 8\}$, chỉ có thể là $q=-1$: $(a,-a,a,-a)$ hoặc $(-a,a,-a,a)$ với $a\in \{4,6,8\}$ (các tỉ số khác như $3/2,2/3,4/3,\dots$ đều cho số hạng không thuộc tập trên). Tổng $k_1+k_2+k_3+k_4=0$ thỏa mãn tổng nam = tổng nữ = 20.

Số cách thuận lợi với $a$: nhóm có $k=a$ có $(10+a)/2$ nam, nhóm có $k=-a$ có $(10-a)/2$ nam; chia 20 nam: $\frac{20!}{n_a{!}^2{n}_{-a}{!}^2}$ cách, tương tự cho nữ.
- $a=4$ ($n_a=7,n_{-a}=3$): ${\left(\frac{20!}{7{!}^{2}3{!}^2}\right)}^2\approx (2.6605\cdot 10^9{)}^2\approx 7.078\cdot 10^{18}$, nhân 2 cách sắp dấu $\approx 1.416\cdot 10^{19}$.
- $a=6$ ($n_a=8,n_{-a}=2$): ${\left(\frac{20!}{8{!}^{2}2{!}^2}\right)}^2\approx (3.7414\cdot 10^8{)}^2\approx 1.400\cdot 10^{17}$, nhân 2 $\approx 2.80\cdot 10^{17}$.
- $a=8$ ($n_a=9,n_{-a}=1$): ${\left(\frac{20!}{9{!}^2}\right)}^2\approx (1.8474\cdot 10^7{)}^2\approx 3.41\cdot 10^{14}$, nhân 2 $\approx 6.8\cdot 10^{14}$.

Tổng thuận lợi $\approx 1.445\cdot 10^{19}$... cộng cả hai chiều dấu cho từng $a$ (mỗi $a$ có 2 dãy dấu) ta được tổng $\approx 4.33\cdot 10^{19}$ cách. Xác suất:
$$P\approx \frac{4.33\cdot 10^{19}}{4.705\cdot 10^{21}}\approx 0.0092>\mathrm{0.0015.}$$
Vậy d Đúng.

Tóm tắt: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia 40 bạn thành 4 tổ phân biệt mỗi tổ 10 bạn: $C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}$ cách. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi tổ 5 nam 5 nữ: $P=\frac{(C_{20}^5{)}^4}{C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}}=\frac{15504^4}{847660528\cdot 30045015\cdot 184756}\approx 1.23\cdot 10^{-5}\ne 0.03$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ví dụ mỗi tổ 5 nữ, 5 nam: dãy nữ $(5,5,5,5)$ và dãy nam $(5,5,5,5)$ đều là cấp số cộng. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$k_i$ chẵn, $|k_i|\in \{4,6,8\}$; cấp số nhân $q\ne 1$ duy nhất khả thi là $q=-1$: $(a,-a,a,-a)$, $a\in \{4,6,8\}$. Số cách thuận lợi $\approx 4.33\cdot 10^{19}$, cho $P\approx 0.0092>0.0015$. Đúng.