Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2m$ và cách bờ $AD$ là $8m$, rồi dựng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $AB$, $AD$ và cây cọc $K$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ với gốc $A$, bờ $AB$ là trục $Oy$, bờ $AD$ là trục $Ox$. Cây sào là đoạn thẳng $PQ$ với $P(0;p)$ trên $AB$, $Q(q;0)$ trên $AD$ ($p,q>0$), đi qua điểm $K(8;2)$ (cách $AD$ là $8m$, cách $AB$ là $2m$). Phương trình đường thẳng qua $P,Q$: $\frac{x}{q}+\frac{y}{p}=1$. Vì $K\in PQ$: $\frac{8}{q}+\frac{2}{p}=1$.

Cần tìm $\min PQ=\sqrt{p^2+q^2}$, tức min $f=p^2+q^2$ với ràng buộc $\frac{8}{q}+\frac{2}{p}=1$.

Dùng nhân tử Lagrange: $L=p^2+q^2+\lambda \left(\frac{8}{q}+\frac{2}{p}-1\right)$.
$\frac{\partial L}{\partial p}=2p-\frac{2\lambda }{p^2}=0\Rightarrow \lambda =p^3$; $\frac{\partial L}{\partial q}=2q-\frac{8\lambda }{q^2}=0\Rightarrow \lambda =\frac{q^3}{4}$.
Suy ra $p^3=\frac{q^3}{4}\Rightarrow q=\sqrt[3]{4}p$.

Thế vào ràng buộc: $\frac{8}{\sqrt[3]{4}p}+\frac{2}{p}=1\Rightarrow p=\frac{8}{\sqrt[3]{4}}+2=2\sqrt[3]{16}+2\approx 7,0397$, và $q=\sqrt[3]{4}p\approx 11,175$.

Khi đó $PQ=\sqrt{p^2+q^2}\approx \sqrt{49,557+124,88}=\sqrt{174,44}\approx 13,208\approx 13,2$ m.

Vì $f\to \infty$ khi $p\to \infty$ hoặc $q\to \infty$ (và $p,q$ bị chặn dưới bởi ràng buộc), điểm dừng này là giá trị nhỏ nhất. Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào là $13,2$ m, khớp với đáp án $13,2$.