Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $M(3;0;2)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết $C^{\prime }(6;8;4)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $A(0;0;0)$, trục $Ox$ hướng về $B$, $Oy$ về $D$, $Oz$ lên trên. Vì $C^{\prime }(6;8;4)$ nên $B(6;0;0)$, $C(6;8;0)$, $A^{\prime }(0;0;4)$, $B^{\prime }(6;0;4)$, $D^{\prime }(0;8;4)$, $P$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $P(0;4;4)$.
a) Mặt phẳng $(CB{B}^{\prime })$ là mặt phẳng $x=6$ (ba điểm đều có $x=6$). $M(3;0;2)$ có $x=3\ne 6$ nên $M\notin (CB{B}^{\prime })$: sai.
b) Mặt phẳng $(B^{\prime }PC)$: $\overrightarrow{P{B}^{\prime }}=(6;-4;0)$, $\overrightarrow{PC}=(6;4;-4)$, tích có hướng $\overrightarrow{P{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{PC}=(16;24;48)=8(2;3;6)$. Vậy $\vec{n}=(2;3;6)$ là pháp tuyến: đúng.
c) $N(0;0;z)$, $0\le z\le 4$. Cần min $f(z)=\sqrt{9+(z-2{)}^2}+\sqrt{16+(z-4{)}^2}$. Đạo hàm $f^{\prime }(z)=\frac{z-2}{\sqrt{9+(z-2{)}^2}}+\frac{z-4}{\sqrt{16+(z-4{)}^2}}=0\Rightarrow \frac{u}{\sqrt{9+u^2}}=\frac{v}{\sqrt{16+v^2}}$ với $u=z-2,v=4-z,u+v=2$. Bình phương: $16u^2=9v^2\Rightarrow 4u=3v\Rightarrow u=6/7,v=8/7,z=20/7\in [0;4]$. Khi đó $f=\sqrt{9+36/49}+\sqrt{16+64/49}=\frac{3\sqrt{53}+4\sqrt{53}}{7}=\sqrt{53}$: đúng.
d) $D^{\prime }$ đối xứng với $C^{\prime }$ qua trung điểm hình vuông trên, tọa độ $D^{\prime }(0;8;4)$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(CB{B}^{\prime })$ là mặt phẳng $x=6$, còn $M$ có hoành độ $x=3$, nên $M$ không thuộc mặt phẳng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{P{B}^{\prime }}=(6;-4;0)$, $\overrightarrow{PC}=(6;4;-4)$, $\overrightarrow{P{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{PC}=(16;24;48)=8(2;3;6)$ cùng phương với $(2;3;6)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Min $MN+NP$ đạt tại $z=20/7$ với giá trị đúng bằng $\sqrt{53}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $C^{\prime }(6;8;4)$ và hình hộp, $D^{\prime }(0;8;4)$.